以前 第18回 https://www.olinas.co.jp/media/knowledge/a277
第19回 https://www.olinas.co.jp/media/knowledge/a276
「許容誤差」を取り上げ、誤差の見積もりについて解説しましたが、誤差計算の詳細は省略し、計算方針の概略と結果を示しただけでした。
この誤差計算について質問がありましたので、計算方法を応用しやすい形にまとめてみました。内容的には、多項式の1次近似計算ですので、「面白くない」ことは請け合えます。
１．加算（抵抗の直列接続、コンデンサの並列接続などの場合）
R＝R1＋R2、R1の誤差e1、R2の誤差e2、Rの誤差E、とする。
R（1＋E）＝R1（1＋e1）+R2（1＋e2）＝R1＋R1 e1＋R2＋R2 e2＝（R1＋R2）＋（R1 e1＋R2 e2）
両辺をRで割ると、
1＋E＝（R1＋R2）／R＋（R1 e1＋R2 e2）／R＝1＋（R1／R）e1＋（R2／R）e2
両辺から1を引いて、
E＝（R1／R）e1＋（R2／R）e2＝｛R1／（R1＋R2）｝e1＋｛R2／（R1＋R2）｝e2
２．逆数（抵抗の並列接続、反転アンプのゲインなどの場合）
Rの誤差をe、1／Rの誤差をEとする。
（1／R）（1＋E）＝1／｛R（1＋e）｝＝（1／R）｛1／（1＋e）｝
両辺を（1／R）で割って、
1＋E＝1／（1＋e）
右辺の分母、分子に（1－e）を掛けて、分母の誤差項を2次として、無視する
1＋E＝1／（1＋e）＝（1－e）／｛（1＋e）（1－e）｝＝（1－e）／（1－ee）≒（1－e）／（1－0）＝1－e
両辺から1を引いて、
E≒－e
３．乗算（除算は、逆数の乗算として扱う）
R1の誤差e1、R2の誤差e2、R1R2の誤差E、とする。
R1R2（1＋E）＝｛R1（1＋e1）｝｛R2（1＋e2）｝＝R1R2（1＋e1）（1＋e2）
両辺をR1R2で割って、
1＋E＝（1＋e1）（1＋e2）
右辺を展開し、2次の誤差項を無視すると、
1＋E＝（1＋e1）（1＋e2）＝1＋e1＋e2＋e1e2≒1＋e1＋e2＋0＝1＋e1＋e2
両辺から1を引いて、
E≒e1＋e2
上記の3つの式を公式のように使うことで、実際の誤差計算の見通しがよくなると思います。例として、反転アンプのゲイン誤差を計算してみます。
反転アンプのゲインG＝RFB／RIN、Gの誤差E、RFBの誤差e1、RINの誤差e2、とします。
G（1＋E）＝RFB（1＋e1）／RIN（1＋e2）
逆数の式を使って、1／｛RIN（1＋e2）｝＝（1／RIN）（1－e2）を代入します。
G（1＋E）≒RFB（1＋e1）（1／RIN）（1－e2）
この式は、RFBと（1／RIN）の乗算ですので、
G（1＋E）≒RFB（1／RIN）（1＋e1－e2）＝（RFB／RIN）（1＋e1－e2）＝G（1＋e1－e2）
したがって、
E≒e1－e2
誤差は、抵抗ごとに独立に、±の値をとりますので、誤差見積においては、（e1－e2）と（e1＋e2）は同等です。
免責
計算には万全を期しておりますが、ここに示した計算結果の利用に対しては、何らの保証もいたしません。必ず、ご自身で検算された上で、ご利用ください。
